Spazi Vettoriali

Spazio vettoriale

Definizione

Sia $K$ un campo commutativo.
Uno spazio vettoriale su $K$ è una terna $(V,+,\cdot )$ costituita da un insieme $V$ e da due operazioni:

• addizione $+:V\times V\to V$
• moltiplicazione per scalare $\cdot :K\times V\to V$

tali che, per ogni $u,v,w\in V$ e $\alpha ,\beta \in K$, valgono gli otto assiomi:

1. $(u+v)+w=u+(v+w)$
2. $u+v=v+u$
3. esiste $0\in V$ con $v+0=v$
4. per ogni $v$ esiste $-v$ con $v+(-v)=0$
5. $\alpha (u+v)=\alpha u+\alpha v$
6. $(\alpha +\beta )v=\alpha v+\beta v$
7. $(\alpha \beta )v=\alpha (\beta v)$
8. $1\cdot v=v$

Notazione

Gli elementi di $V$ si chiamano vettori, quelli di $K$ scalari.

Esempi fondamentali

• $K^n$ con operazioni punto-a-punto
• $K[x]$, lo spazio dei polinomi a coefficienti in $K$
• $\mathcal{F}(X,K)$, lo spazio di tutte le applicazioni $f:X\to K$
• $M_{m\times n}(K)$, lo spazio delle matrici $m\times n$

Proprietà di base

L’insieme nullo non è uno spazio vettoriale.
L’elemento $0\in V$ e l’opposto $-v$ sono unici.
Identità utili: $0\cdot v=0$, $\alpha \cdot 0=0$, $(-1)v=-v$.