Data di stesura: 2025-08-29 21:33 Ultima modifica: 2025-08-29 21:33 Sezione (Argomento): 03. Matrici e Sistemi lineari

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Applicazioni Lineari

Un’applicazione lineare è una funzione $T:V\to W$ tra spazi vettoriali sullo stesso campo $\mathbb{K}$ tale che

1. $T(u+v)=T(u)+T(v)$ per ogni $u,v\in V$
2. $T(\lambda v)=\lambda T(v)$ per ogni $\lambda \in \mathbb{K},v\in V$

Nucleo e immagine

Il nucleo è l’insieme $\ker T=\{v\in V\mid T(v)=0\}$, mentre l’immagine è $\mathrm{Im}T=\{T(v)\mid v\in V\}\subseteq W$.
Entrambi sono sottospazi di $V$ e $W$ e si studiano come in nucleo e immagine di una matrice.

Matrici associate

Fissate basi $\mathcal{B}$ di $V$ e $\mathcal{C}$ di $W$, l’applicazione si rappresenta tramite una matrice $A$ tale che

$$[T(v){]}_{\mathcal{C}}=A[v{]}_{\mathcal{B}}$$

In questo modo la composizione di applicazioni lineari corrisponde al prodotto di matrici, l’identità alla matrice identità e un’isomorfismo (quando esiste) alla matrice inversa.

Dimensione

Vale il teorema fondamentale (detto anche teorema di dimensione e rango):

$$\dim V=\dim (\ker T)+\dim (\mathrm{Im}T)$$

che lega la dimensione del dominio alla struttura del nucleo e dell’immagine.