Data di stesura: 2025-08-29 21:29 Ultima modifica: 2025-08-29 21:29 Sezione (Argomento): 01. Spazi Vettoriali e Combinazioni Lineari

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Matrici

Le matrici sono uno strumento centrale, in quanto permettono di rappresentare in modo compatto operazioni e trasformazioni tra spazi vettoriali.
Una matrice può essere pensata come la “tabella” che descrive un’applicazione lineare rispetto a una base scelta.

Definizione

Una matrice $A$ di dimensione $m\times n$ è un insieme ordinato di elementi $a_{ij}$ con $i=1,\dots ,m$ e $j=1,\dots ,n$:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$$

Tipi principali

• Matrice quadrata: quando $m=n$, spesso usata nello studio del determinante.
• Matrice identità: agisce come l’elemento neutro del prodotto matriciale, così come $1$ nei numeri reali.
• Matrici triangolari: utili nei calcoli di riduzione e nello studio degli autovalori.
• Matrici simmetriche: collegano il mondo delle matrici a quello delle forme bilineari e dei prodotti scalari.

Operazioni fondamentali

• Somma e differenza: si combinano matrice per matrice, purché abbiano la stessa dimensione.
• Prodotto per scalare: ogni elemento viene moltiplicato per un numero.
• Prodotto tra matrici: rappresenta la composizione di applicazioni lineari.
• Trasposta $A^T$: scambia righe e colonne.
• Inversa $A^{-1}$: esiste solo per matrici quadrate non singolari, e corrisponde all’inversa di una trasformazione lineare.

Ruolo nelle applicazioni

Le matrici non sono solo strumenti di calcolo: sono il linguaggio che permette di passare dalla teoria astratta degli spazi vettoriali alla pratica dei sistemi di equazioni lineari, dello studio degli autospazi, fino alle rappresentazioni geometriche come rotazioni, riflessioni e proiezioni.