Forme Bilineari

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $\mathbb{K}$ (tipicamente $\mathbb{R}$).

Definizione

Una forma bilineare è un’applicazione

$$B:V\times V\to \mathbb{K}$$

lineare in ciascun argomento.

• Simmetrica: $B(u,v)=B(v,u)$
• Alternante: $B(v,v)=0$ per ogni $v$ (equivalente a $B(u,v)=-B(v,u)$ se $\mathrm{char}\mathbb{K}\ne 2$)

Matrice associata e valutazione

Fissata una base $\mathcal{B}=(e_1,\dots ,e_n)$, la matrice di $B$ è $M=(m_{ij})$ con

$$m_{ij}=B(e_i,e_j).$$

Se $x=[v{]}_{\mathcal{B}}$, $y=[w{]}_{\mathcal{B}}$ sono i vettori colonna di coordinate, allora

$$B(v,w)=x^{T}My.$$

Cambio di base (congruenza)

Se $\mathcal{C}$ è un’altra base e $P$ è la matrice di cambiamento da $\mathcal{C}$ a $\mathcal{B}$ (cioè $[v{]}_{\mathcal{B}}=P[v{]}_{\mathcal{C}}$), allora

$$M_{\mathcal{C}}=P^T{M}_{\mathcal{B}}P.$$

Radicali, rango, non-degenerazione

• Radicale: $\mathrm{Rad}(B)=\{v\in V:B(v,w)=0\forall w\in V\}$.
• Non-degenerata: $\mathrm{Rad}(B)=\{0\}$.
• Rango: $\mathrm{rank}(B):=\mathrm{rank}(M)$ (indipendente dalla base, perché il rango è invariante per congruenza).

Ortogonalità indotta

Si scrive $v{\perp }_{B}w$ se $B(v,w)=0$. Per $U\le V$, il complemento $B$-ortonale è $U^{{\perp }_B}=\{x:B(x,u)=0\forall u\in U\}$; se $B$ è non-degenerata e $V$ è finito-dimensionale, allora $V=U\oplus U^{{\perp }_B}$.

Collegamenti

• Le norme euclidee sono forme bilineari simmetriche, definite positive.
• Le forme alternanti corrispondono a matrici antisimmetriche (vedi antisimmetriche).