Applicazione Duale

Sia $T:V\to W$ un’applicazione lineare.

Definizione

Si definisce l’applicazione duale (o trasposta)

$$T^{\ast }:W^{\ast }\to V^{\ast },T^{\ast }(\phi )=\phi \circ T.$$

In altre parole, $T^{\ast }(\phi )(v)=\phi (T(v))$ per ogni $v\in V$.

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Proprietà

• $T^{\ast }$ è lineare.
• Se $A$ è la matrice di $T$ in basi fissate, allora la matrice di $T^{\ast }$ è la trasposta di $A$.
• $\ker (T^{\ast })=\{\phi \in W^{\ast }:\phi \circ T=0\}$.
• $\mathrm{Im}(T^{\ast })=(\ker T{)}^{\perp }$ (spazio delle forme che annullano $\ker T$).

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Collegamenti

• Ponte tra dualità e trasposta delle matrici.
• Centrale nello studio di forme bilineari e prodotti scalari.