Base duale

Sia $V$ uno spazio vettoriale su $\mathbb{K}$ con base $\mathcal{B}=(v_1,\dots ,v_n)$.

Definizione

La base duale ${\mathcal{B}}^{\ast }=(f^1,\dots ,f^n)$ di $V^{\ast }$ è definita da

$$f^i(v_j)={\delta }_j^i=\{\begin{array}{ll}1& \text{se }i=j,\\ 0& \text{se }i\ne j.\end{array}$$

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Proprietà

• Ogni $f\in V^{\ast }$ si scrive in modo unico come

  $$f=\sum _{i=1}^{n}f(v_i)f^i.$$

• La matrice associata a un funzionale $f\in V^{\ast }$ rispetto alla base $\mathcal{B}$ è una riga $(f(v_1),\dots ,f(v_n))$.

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Collegamenti

• Fondamentale per calcolare l’applicazione duale in termini di matrici trasposte.
• Usata nella definizione del doppio duale.