Doppio Duale e Isomorfismo Canonico

Sia $V$ uno spazio vettoriale finito-dimensionale.

Definizione

Il doppio duale di $V$ è $(V^{\ast }{)}^{\ast }$.

Esiste un isomorfismo canonico

$$\Phi :V\to V^{\ast \ast },\Phi (v)(f)=f(v)\forall f\in V^{\ast }.$$

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Proprietà

• $\Phi$ è lineare e iniettiva per ogni $V$.
• Se $\dim V<\infty$, $\Phi$ è anche suriettiva, quindi un isomorfismo.
• Nella base canonica, $\Phi$ identifica $V$ con il suo doppio duale senza scelte arbitrarie.

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Collegamenti

• Questo è il motivo per cui in spazi finito-dimensionali si scrive spesso $V\cong V^{\ast \ast }$.
• Collegato al teorema di dimensione-rango perché $\dim V=\dim V^{\ast }$.
• Utile nelle forme bilineari per identificare $V$ con il suo duale tramite prodotti scalari o forme non-degenerate.