Annullatore di un Sottospazio

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $\mathbb{K}$ e $U\le V$ un sottospazio.

Definizione

L’annullatore di $U$ è il sottospazio di $V^{\ast }$ definito da

$$U^0=\{f\in V^{\ast }\mid f(u)=0\forall u\in U\}.$$

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Proprietà fondamentali

1. $U^0$ è un sottospazio di $V^{\ast }$.
2. $\dim U^0=\dim V-\dim U$ (se $\dim V<\infty$).
3. $U\subseteq W\Rightarrow W^0\subseteq U^0$.
4. $(U^0{)}^0=U$ (in spazi finito-dimensionali, identificando $V\cong V^{\ast \ast }$).

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Collegamento con applicazione duale

Se $i:U\hookrightarrow V$ è l’inclusione, allora

$$U^0=\ker (i^{\ast }:V^{\ast }\to U^{\ast }).$$

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Interpretazione

• $U^0$ contiene tutti i funzionali lineari che “non vedono” $U$.
• È il duale analogo del complemento ortogonale in spazi con prodotto scalare.
• In un certo senso, $U^0$ è “perpendicolare” a $U$, ma nel duale.

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Esempio

Se $V={\mathbb{R}}^3$ e $U=\mathrm{Span}\{(1,0,0),(0,1,0)\}$, allora

$$U^0=\{(0,0,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}\subseteq ({\mathbb{R}}^3{)}^{\ast },$$

cioè i funzionali che dipendono solo dalla terza coordinata.

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Collegamenti

• Collegato al doppio duale: $(U^0{)}^0=U$.
• Analogo duale del complemento ortogonale in spazi euclidei.
• Utile per dimostrare il teorema dimensione–rango in forma duale.