Completamento ortogonale

Sia $(V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ uno spazio con prodotto scalare finito-dimensionale (reale o complesso) e sia $U\le V$ un sottospazio.

Definizione

Il complemento ortogonale di $U$ è

$$U^{\perp }=\{x\in V\mid ⟨x,u⟩=0\text{per ogni }u\in U\}.$$

Proprietà fondamentali

1. $U^{\perp }$ è un sottospazio di $V$.
2. $U\cap U^{\perp }=\{0\}$.
3. Somma diretta ortogonale: $V=U\oplus U^{\perp }$.
4. Doppio ortogonale: $(U^{\perp }{)}^{\perp }=U$.
5. Dimensioni: $\dim U+\dim U^{\perp }=\dim V$.
6. Relazioni utili per $U,W\le V$: $$(U+W{)}^{\perp }=U^{\perp }\cap W^{\perp },(U\cap W{)}^{\perp }=U^{\perp }+W^{\perp }.$$

Dimostrazioni

(1) $U^{\perp }$ è sottospazio. Se $x,y\in U^{\perp }$ e $\alpha ,\beta \in \mathbb{K}$, per ogni $u\in U$ vale $⟨\alpha x+\beta y,u⟩=\alpha ⟨x,u⟩+\beta ⟨y,u⟩=0$, quindi $\alpha x+\beta y\in U^{\perp }$.

(2) Intersezione banale. Se $v\in U\cap U^{\perp }$, allora $⟨v,v⟩=0$ (perché $v\in U^{\perp }$ e $v\in U$), dunque $v=0$ per la definitezza del prodotto scalare.

(3) Decomposizione $V=U\oplus U^{\perp }$.
Sia $(e_1,\dots ,e_k)$ una base ortonormale di $U$ (esiste per Gram–Schmidt). Per ogni $v\in V$ definisci la proiezione ortogonale su $U$:

$${\pi }_U(v)=\sum _{i=1}^k⟨v,e_i⟩e_i,w:=v-{\pi }_U(v).$$

Per ogni $j$, $⟨w,e_j⟩=⟨v,e_j⟩-{\sum }_i⟨v,e_i⟩⟨e_i,e_j⟩=⟨v,e_j⟩-⟨v,e_j⟩=0$, quindi $w\in U^{\perp }$ e $v={\pi }_U(v)+w\in U+U^{\perp }$.
L’unicità della scrittura segue da (2): se $v=u_1+w_1=u_2+w_2$ con $u_i\in U$, $w_i\in U^{\perp }$, allora $u_1-u_2=w_2-w_1\in U\cap U^{\perp }=\{0\}$, quindi $u_1=u_2$, $w_1=w_2$.

(4) Doppio ortogonale. Dalla (3), ogni $v\in V$ si scrive univocamente $v=u+w$ con $u\in U$, $w\in U^{\perp }$. Se $v\in (U^{\perp }{)}^{\perp }$, allora $⟨v,z⟩=0$ per ogni $z\in U^{\perp }$. In particolare $0=⟨v,w⟩=⟨u+w,w⟩=⟨u,w⟩+\Vert w{\Vert }^2=\Vert w{\Vert }^2$, quindi $w=0$ e $v=u\in U$. Dunque $(U^{\perp }{)}^{\perp }\subseteq U$. L’altra inclusione è ovvia perché ogni $u\in U$ è ortogonale a $U^{\perp }$.

(5) Dimensioni. Dalla somma diretta (3) segue $\dim V=\dim U+\dim U^{\perp }$.

(6) Relazioni con somma e intersezione.

• Se $x\in (U+W{)}^{\perp }$, allora $x$ è ortogonale a ogni $u+w$ con $u\in U$, $w\in W$, dunque $⟨x,u⟩=0$ e $⟨x,w⟩=0$ per tutti, cioè $x\in U^{\perp }\cap W^{\perp }$. Viceversa, se $x\in U^{\perp }\cap W^{\perp }$, allora $x$ è ortogonale a $U+W$. Quindi $(U+W{)}^{\perp }=U^{\perp }\cap W^{\perp }$.
• In spazi finito-dimensionali, applicando $\perp$ ad ambo i membri e usando (4) si ottiene $(U\cap W{)}^{\perp }=U^{\perp }+W^{\perp }$.

Collegamenti

• La proiezione $v\mapsto {\pi }_U(v)$ è un operatore lineare autoadiunto con $\ker {\pi }_U=U^{\perp }$, $\mathrm{Im}{\pi }_U=U$.
• Utile per l’estensione di insiemi ortonormali e per decomporre $V$ in somme ortogonali.