Disuguaglianza di Cauchy–Schwarz

Sia $(V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ uno spazio con prodotto scalare su $\mathbb{K}$ ($\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$).
Per ogni $u,v\in V$ vale

$$|⟨u,v⟩|\le \Vert u\Vert \Vert v\Vert .$$

Dimostrazione rigorosa (caso generale complesso)

Se $v=0$ la tesi è ovvia. Sia dunque $v\ne 0$. Considera, per $\lambda \in \mathbb{K}$,

$$\Vert u-\lambda v{\Vert }^2=⟨u-\lambda v,u-\lambda v⟩=\Vert u{\Vert }^2-2\mathrm{Re}(\lambda ⟨v,u⟩)+|\lambda {|}^2\Vert v{\Vert }^2\ge 0.$$

Scegli $\lambda =\frac{⟨v,u⟩}{\Vert v{\Vert }^2}$. Allora

$$0\le \Vert u-\lambda v{\Vert }^2=\Vert u{\Vert }^2-\frac{|⟨v,u⟩{|}^2}{\Vert v{\Vert }^2}\Rightarrow |⟨u,v⟩{|}^2\le \Vert u{\Vert }^2\Vert v{\Vert }^2.$$

Prendendo le radici si ottiene l’enunciato.

Caso di uguaglianza. Si ha $|⟨u,v⟩|=\Vert u\Vert \Vert v\Vert$ se e solo se $\Vert u-\lambda v\Vert =0$ con la $\lambda$ scelta sopra, cioè $u=\lambda v$: i vettori sono linearmente dipendenti (e per $\mathbb{C}$ l’uguaglianza vale per qualunque fase di $\lambda$).

Collegamenti

• Implica la disuguaglianza triangolare via $\Vert u+v{\Vert }^2=\Vert u{\Vert }^2+2\mathrm{Re}⟨u,v⟩+\Vert v{\Vert }^2$.
• Base teorica per proiezioni ortogonali e complementi ortogonali.