Disuguaglianza Triangolare

In ogni spazio con prodotto scalare $(V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ vale, per ogni $u,v\in V$,

$$\Vert u+v\Vert \le \Vert u\Vert +\Vert v\Vert .$$

Dimostrazione rigorosa

Usiamo la formula di polarizzazione “reale” della norma indotta:

$$\Vert u+v{\Vert }^2=\Vert u{\Vert }^2+2\mathrm{Re}⟨u,v⟩+\Vert v{\Vert }^2\le \Vert u{\Vert }^2+2|⟨u,v⟩|+\Vert v{\Vert }^2\stackrel{\text{C–S}}{\le }\Vert u{\Vert }^2+2\Vert u\Vert \Vert v\Vert +\Vert v{\Vert }^2=(\Vert u\Vert +\Vert v\Vert {)}^2.$$

Prendendo la radice otteniamo $\Vert u+v\Vert \le \Vert u\Vert +\Vert v\Vert$.

Caso di uguaglianza

Dalla catena di disuguaglianze, l’uguaglianza richiede entrambe:

1. $|⟨u,v⟩|=\mathrm{Re}⟨u,v⟩$ (prodotto scalare reale non negativo);
2. $|⟨u,v⟩|=\Vert u\Vert \Vert v\Vert$ (uguaglianza in Cauchy–Schwarz).

Quindi $u$ e $v$ sono linearmente dipendenti e “nella stessa direzione”:

• su $\mathbb{R}$: $v=tu$ con $t\ge 0$;
• su $\mathbb{C}$: esiste $t\ge 0$ e una fase $\theta$ tale che $v=e^{i\theta }tu$ con $⟨u,v⟩\ge 0$ (cioè fase allineata).

Collegamenti

• È la proprietà chiave che fa di $\Vert \cdot \Vert$ una norma; vedi norma indotta.
• Usata nella dimostrazione dell’estensione di basi ortogonali tramite continuità delle proiezioni.