Data di stesura: 2025-08-29 21:35 Ultima modifica: 2025-08-29 21:35 Sezione (Argomento): 04. Applicazioni Lineari

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Teorema Dimensione–Rango

Sia $T:V\to W$ un’applicazione lineare tra spazi vettoriali di dimensione finita.

Enunciato

$$\dim V=\dim (\ker T)+\dim (\mathrm{Im}T)$$

Dimostrazione

Sia $T:V\to W$ un’applicazione lineare tra spazi vettoriali su $\mathbb{K}$, con $V$ di dimensione finita $n$. Denotiamo con $\ker T$ e $\mathrm{Im}T$ rispettivamente nucleo e immagine (vedi definizioni e proprietà).

Passo 1 — Base del nucleo

Poni $k=\dim (\ker T)$. Scegli una base del nucleo:

$$\{u_1,\dots ,u_k\}\text{base di }\ker T.$$

Passo 2 — Estensione a base di $V$

Estendi $\{u_1,\dots ,u_k\}$ a una base di $V$ (proprietà standard dei spazi vettoriali finitamente dimensionali). Esistono vettori $v_1,\dots ,v_r$ tali che

$$\mathcal{B}=\{u_1,\dots ,u_k,v_1,\dots ,v_r\}\text{eˋ una base di }V,$$

con $r=n-k$.

Passo 3 — Generatori di $\mathrm{Im}T$

Per ogni $x\in V$ esistono scalari ${\alpha }_i,{\beta }_j$ con

$$x=\sum _{i=1}^k{\alpha }_i{u}_i+\sum _{j=1}^r{\beta }_j{v}_j.$$

Applicando $T$ e usando $T(u_i)=0$ (perché $u_i\in \ker T$), otteniamo

$$T(x)=\sum _{j=1}^r{\beta }_{j}T(v_j).$$

Dunque ogni $T(x)$ è combinazione lineare dei $T(v_1),\dots ,T(v_r)$, cioè

$$\mathrm{Im}T=\mathrm{Span}\{T(v_1),\dots ,T(v_r)\}.$$

Passo 4 — Indipendenza dei $T(v_j)$

Supponi che per alcuni scalari ${\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_r$ valga

$$\sum _{j=1}^r{\gamma }_{j}T(v_j)=0.$$

Allora

$$T\left(\sum _{j=1}^r{\gamma }_j{v}_j\right)=0\Rightarrow \sum _{j=1}^r{\gamma }_j{v}_j\in \ker T=\mathrm{Span}\{u_1,\dots ,u_k\}.$$

Esistono quindi ${\delta }_1,\dots ,{\delta }_k$ tali che

$$\sum _{j=1}^r{\gamma }_j{v}_j=\sum _{i=1}^k{\delta }_i{u}_i.$$

Portando tutto al primo membro,

$$\sum _{i=1}^k(-{\delta }_i)u_i+\sum _{j=1}^r{\gamma }_j{v}_j=0.$$

Ma $\{u_1,\dots ,u_k,v_1,\dots ,v_r\}$ è una base di $V$, quindi è un insieme linearmente indipendente: tutte le coefficienti sono zero. In particolare ${\gamma }_1=\cdots ={\gamma }_r=0$. Dunque $\{T(v_1),\dots ,T(v_r)\}$ è un insieme indipendente e, essendo anche generatore di $\mathrm{Im}T$, è una base di $\mathrm{Im}T$. Ne segue

$$\dim (\mathrm{Im}T)=r.$$

Conclusione

Poiché $n=\underset{\dim (\ker T)}{\underbrace{k}}+\underset{\dim (\mathrm{Im}T)}{\underbrace{r}}$, otteniamo l’identità

$$\boxed{\dim V=\dim (\ker T)+\dim (\mathrm{Im}T)}.$$

Nota operativa (matrici)

Se $A$ è la matrice di $T$ nelle basi scelte, le prime $k$ colonne (relative a $u_1,\dots ,u_k$) sono nulle e le restanti $r$ colonne generano l’immagine. Quindi $\mathrm{rank}(A)=r$ e la formula diventa

$$n=\underset{\text{nullitaˋ}}{\underbrace{(n-\mathrm{rank}(A))}}+\mathrm{rank}(A),$$

ovvero nullità $+$ rango $=$ numero di colonne.

Interpretazione

• La dimensione del dominio si divide nella parte “persa” da $T$ (il nucleo) e nella parte “trasmessa” (l’immagine).
• Operativamente, se $A$ è la matrice di $T$, allora
  • $\dim (\mathrm{Im}T)=\mathrm{rank}(A)$
  • $\dim (\ker T)=n-\mathrm{rank}(A)$ se $A$ è $m\times n$.

Conseguenze

• $T$ è iniettiva $⟺\ker T=\{0\}⟺\mathrm{rank}(A)=\dim V$
• $T$ è suriettiva $⟺\mathrm{Im}T=W⟺\mathrm{rank}(A)=\dim W$