Nucleo e Immagine

Data di stesura: 2025-08-29 21:35 Ultima modifica: 2025-08-29 21:35 Sezione (Argomento): 04. Applicazioni Lineari

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Sia $T:V\to W$ un’applicazione lineare tra spazi vettoriali.

Definizioni

• Nucleo:

$$\ker T=\{v\in V\mid T(v)=0\}$$

• Immagine:

$$\mathrm{Im}T=\{T(v)\mid v\in V\}\subseteq W$$

Proprietà

• $\ker T$ è un sottospazio di $V$
• $\mathrm{Im}T$ è un sottospazio di $W$
• $T$ è iniettiva $⟺\ker T=\{0\}$
• $T$ è suriettiva $⟺\mathrm{Im}T=W$

Collegamenti naturali

Il nucleo e l’immagine si calcolano operativamente tramite la matrice associata a $T$, ridotta a scala.
Il loro legame dimensionale è descritto dal teorema di dimensione–rango.