Teorema di Rouchè-Capelli

Consideriamo un sistema lineare di $m$ equazioni in $n$ incognite, con matrice dei coefficienti $A\in {\mathbb{K}}^{m\times n}$ e matrice completa

$$A^{\ast }=(A\mid b)\in {\mathbb{K}}^{m\times (n+1)},$$

ottenuta affiancando a $A$ la colonna dei termini noti $b\in {\mathbb{K}}^m$.

Enunciato

Il sistema è compatibile (ammette almeno una soluzione) se e solo se

$$\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A^{\ast }).$$

In tal caso:

• se $\mathrm{rank}(A)=n$ la soluzione è unica;
• se $\mathrm{rank}(A)<n$ esistono infinite soluzioni, parametrizzate da $n-\mathrm{rank}(A)$ gradi di libertà.

Lemma chiave (immagine = spazio delle colonne)

Sia $T:{\mathbb{K}}^n\to {\mathbb{K}}^m$ l’applicazione lineare definita da $T(x)=Ax$. Allora

$$\mathrm{Im}(T)=\mathrm{Span}\{\text{colonne di }A\}.$$

Dim. Se $e_1,\dots ,e_n$ sono i vettori della base canonica di ${\mathbb{K}}^n$, allora la $j$-esima colonna di $A$ è $A{e}_j=T(e_j)$. Quindi

$$\mathrm{Im}(T)=\mathrm{Span}\{T(e_1),\dots ,T(e_n)\}=\mathrm{Span}\{\text{colonne di }A\}.$$

In particolare $\mathrm{rank}(A)=\dim (\mathrm{Im}(T))$. $\square$

Dimostrazione del teorema (parte di esistenza)

($\Rightarrow$) Se il sistema è compatibile, esiste $x_0\in {\mathbb{K}}^n$ con $A{x}_0=b$. Per il lemma, $b=A{x}_0\in \mathrm{Im}(T)=\mathrm{Span}(\text{colonne di }A)$. Aggiungere $b$ come nuova colonna non aumenta la dimensione dello span delle colonne:

$$\mathrm{rank}(A^{\ast })=\dim \mathrm{Span}(\text{colonne di }A\cup \{b\})=\dim \mathrm{Span}(\text{colonne di }A)=\mathrm{rank}(A).$$

($\Leftarrow$) Se $\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A^{\ast })$, allora la colonna $b$ non aumenta lo span delle colonne di $A$, cioè $b\in \mathrm{Span}(\text{colonne di }A)=\mathrm{Im}(T)$. Perciò esiste $x_0$ con $A{x}_0=b$, e il sistema è compatibile.

Struttura dell’insieme delle soluzioni

Se il sistema è compatibile e $x_0$ è una soluzione particolare, l’insieme delle soluzioni è

$$\mathcal{S}=\{x\in {\mathbb{K}}^n\mid Ax=b\}=x_0+\ker A=\{x_0+y\mid y\in \ker A\}.$$

Infatti $A(x_0+y)=A{x}_0+Ay=b+0=b$ se e solo se $y\in \ker A$.

Per il teorema dimensione–rango applicato a $T(x)=Ax$,

$$\dim (\ker A)=n-\mathrm{rank}(A).$$

Dunque:

• se $\mathrm{rank}(A)=n$ allora $\ker A=\{0\}$ e $\mathcal{S}=\{x_0\}$ (unicità);
• se $\mathrm{rank}(A)<n$ allora $\dim (\ker A)\ge 1$ e $\mathcal{S}$ è un sottospazio affine di dimensione $n-\mathrm{rank}(A)$ (infinità di soluzioni).

Lettura “a colonne” e matrice completa

Scriviamo le colonne di $A$ come $a^{(1)},\dots ,a^{(n)}\in {\mathbb{K}}^m$. Il sistema $Ax=b$ è

$$x_1{a}^{(1)}+\cdots +x_n{a}^{(n)}=b.$$

Allora:

• compatibilità $⟺b\in \mathrm{Span}\{a^{(1)},\dots ,a^{(n)}\}$;
• $\mathrm{rank}(A^{\ast })=\mathrm{rank}(A)$ se e solo se $b$ è combinazione lineare delle colonne di $A$;
• se $b\notin \mathrm{Span}\{a^{(1)},\dots ,a^{(n)}\}$, allora $\dim \mathrm{Span}$ cresce di $1$ e $\mathrm{rank}(A^{\ast })=\mathrm{rank}(A)+1$ (sistema incompatibile).

Nota operativa (riduzione di Gauss)

La riduzione per righe (operazioni elementari di riga) preserva i ranghi di $A$ e $A^{\ast }$. Portando $A$ in forma a scala ridotta si leggono:

• i pivot $\Rightarrow$ $\mathrm{rank}(A)$;
• le eventuali righe del tipo $[0\cdots 0\mid \text{*}]$ in $A^{\ast }$ con $\text{*}\ne 0$ $\Rightarrow$ sistema incompatibile (perché $\mathrm{rank}(A^{\ast })>\mathrm{rank}(A)$);
• il numero di variabili libere $=n-\mathrm{rank}(A)$ $\Rightarrow$ dimensione di $\ker A$ e dei gradi di libertà della soluzione affine.

Collegamenti

Questa pagina usa: il linguaggio delle matrici (colonne, rango), la struttura di nucleo e immagine dell’applicazione $x\mapsto Ax$, e il dimensione–rango per contare i parametri delle soluzioni.