Riduzione a Scala

La riduzione a scala (o eliminazione di Gauss) è il procedimento con cui una matrice viene trasformata, tramite operazioni elementari sulle righe, in una forma semplificata detta forma a scala o forma a scala ridotta.

Operazioni elementari

Sono le uniche ammesse e non modificano lo rango:

1. Scambio di due righe.
2. Moltiplicazione di una riga per uno scalare $\ne 0$.
3. Sostituzione di una riga con la somma di sé stessa e di un multiplo di un’altra.

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Forma a scala

Una matrice è in forma a scala se:

• tutte le righe nulle stanno in fondo;
• il primo elemento non nullo (pivot) di una riga si trova più a destra rispetto al pivot della riga precedente.

Esempio:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& \ast & \ast & \ast \\ 0& 1& \ast & \ast \\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

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Forma a scala ridotta (forma di Gauss–Jordan)

Una matrice è in forma a scala ridotta se in più:

• i pivot sono $1$;
• ogni colonna di un pivot ha tutti gli altri elementi nulli.

Esempio:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \ast & 0\\ 0& 1& \ast & 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)$$

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Procedura

1. Si parte dalla colonna più a sinistra contenente un elemento non nullo.
2. Si porta un elemento non nullo in cima (pivot).
3. Si normalizza il pivot a $1$.
4. Si eliminano gli elementi sotto il pivot.
5. Si passa alla colonna successiva e si ripete.
6. (Gauss–Jordan) Si eliminano anche gli elementi sopra i pivot.

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Uso principale

• Calcolo del rango (numero di pivot).
• Risoluzione di sistemi lineari: le soluzioni si leggono direttamente dalla forma ridotta.
• Calcolo di matrici inverse tramite estensione $[A|I]\to [I|A^{-1}]$.

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Collegamenti

• Legata al concetto di nucleo e immagine perché mostra le dipendenze lineari tra colonne.
• Strumento pratico per testare indipendenza lineare di vettori.