Dipendenza e Indipendenza Lineare

Sia $v_1,\dots ,v_k\in V$ con $V$ uno spazio vettoriale.

Definizioni

• I vettori $v_1,\dots ,v_k$ sono linearmente dipendenti se esistono ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_k\in \mathbb{K}$ non tutti nulli tali che

$${\alpha }_1{v}_1+\cdots +{\alpha }_k{v}_k=0.$$

• Sono linearmente indipendenti se l’unica combinazione lineare nulla è quella con tutti i coefficienti ${\alpha }_i=0$.

Proprietà operative

• Un insieme contenente lo zero vettore è sempre dipendente.
• Se uno dei vettori è combinazione lineare degli altri, l’insieme è dipendente.
• In $V$ di dimensione $n$, ogni insieme con più di $n$ vettori è dipendente.

Collegamenti

• Una base è per definizione un insieme di vettori indipendenti che genera lo spazio.
• Lo studio della dipendenza si fa tramite riduzione di matrici a scala.