Teorema della rappresentazione unica dello span

Data di stesura: 2025-08-17 23:19 Ultima modifica: 2025-08-17 23:19 Sezione (Argomento):

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Enunciato

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• Combinazioni Lineari

Theorem

Un insieme di vettori $S$ è linearmente indipendente se e solo se ogni vettore nel suo span ha un’unica rappresentazione come combinazione lineare degli elementi dell’insieme.

\begin{proof}[Dimostrazione.] Si dimostra la doppia inclusione. $(⟹)$ Se $S$ è linearmente indipendente, allora ogni vettore in $\mathrm{span}(S)$ ha un’unica rappresentazione.

1. Sia $v\in \mathrm{span}(S)$. Per definizione di span, esistono scalari $a_1,a_2,\dots ,a_k$ tali che: $v={\sum }_{i=1}^k{a}_i{v}_i$ Supponiamo esistano scalari $b_1,b_2,\dots ,b_k\in \mathrm{span}(S)$ tali che $v={\sum }_{i=1}^k{a}_i{v}_i$. Sottraendo le due equazioni:

$0=v-v={\sum }_{i=1}^k(a_i-b_i)v_i.$ Poichè $S$ è linearmente indipendente, allora necessariamente $(a_i-b_i)=0$\forall i=1,2,\dots,k,$ovvero$a_i=b_i$.Pertanto,larappresentazionedi$v$\grave{e}unica.$(\Longleftarrow)$Seognivettorein$\mathrm{span}(S)$haun’unicarappresentazione,allora$S$\grave{e}linearmenteindipendente.Siconsideriilvettorenullo$0$.Poich\grave{e}$0\in \mathrm{span}(S)$,poich\grave{e}lospan\grave{e}unsottospaziovettoriale,eperipotesilarappresentazione\grave{e}unica,l’unicomodoperesprimere0comecombinazionelinearedeivettoridi$S$\grave{e}contuttiicoefficentinulli.Ora,supponiamocheesistanoscalari$c_{1},c_{2},…,c_{k}\in \mathbb{K}tali che $$\sum^k_{i=1}c_{i}v_{i}=0$$ Poichè la rappresentazione di0$\grave{e}unica,deveessere$c_i=0$perogni$i=1,2,…,k$.Pertanto,$S$\grave{e}linearmenteindipendente.\ast \ast Conclusione.\ast \ast Uninsieme$S$\grave{e}linearmenteindipendenteseesoloseognivettorein$\mathrm{span}(S)$haun’unicarappresentazionecomecombinazionelinearedeglielementidi$S$.

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