Basi e Dimensione

Sia $V$ uno spazio vettoriale su $\mathbb{K}$.

Base

Un insieme di vettori $\{v_1,\dots ,v_n\}$ è una base di $V$ se:

1. è linearmente indipendente
2. genera $V$, cioè $\mathrm{Span}\{v_1,\dots ,v_n\}=V$.

Dimensione

La dimensione di $V$, denotata $\dim V$, è il numero di elementi di una qualunque sua base.

Proprietà:

• Tutte le basi di $V$ hanno la stessa cardinalità.
• Se $\dim V=n$, allora:
  • ogni insieme di $n$ vettori indipendenti è una base
  • ogni insieme di $n$ vettori generatori è una base

Collegamenti

• Le basi servono a rappresentare elementi e applicazioni lineari tramite matrici.
• La dimensione compare nel teorema di dimensione–rango.