Teorema di Esistenza delle Basi

Sia $V$ uno spazio vettoriale non nullo su $\mathbb{K}$, di dimensione finita.

Enunciato

Ogni insieme di generatori finito di $V$ contiene una base di $V$.

Dimostrazione

1. Sia $S=\{v_1,\dots ,v_m\}$ un insieme che genera $V$.
2. Se $S$ è indipendente, allora è già una base.
3. Se $S$ è dipendente, elimina un vettore che sia combinazione lineare degli altri.
4. Ripeti finché ottieni un sottoinsieme indipendente che genera ancora $V$.

Il procedimento termina perché a ogni passo si elimina un vettore e il numero è finito.
L’insieme rimanente è indipendente e generatore, dunque una base.

Collegamenti

• Questo teorema assicura che ogni spazio vettoriale finito-dimensionale ha una base.
• Complementare al teorema del completamento.