Teorema del Completamento

Sia $V$ uno spazio vettoriale finito-dimensionale su $\mathbb{K}$.

Enunciato

Ogni insieme indipendente di vettori in $V$ può essere esteso a una base di $V$.

Dimostrazione

1. Sia $S=\{v_1,\dots ,v_k\}$ un insieme indipendente in $V$.
2. Considera una base $\mathcal{B}=\{u_1,\dots ,u_n\}$ di $V$ (esiste per il teorema di esistenza delle basi).
3. Se $S$ non genera $V$, aggiungi un vettore $u_j$ di $\mathcal{B}$ a $S$.
4. Ripeti finché l’insieme generato coincide con $V$.
5. Poiché $S$ era indipendente, e aggiungiamo sempre vettori esterni al suo span, la nuova famiglia rimane indipendente.

Alla fine otteniamo una base di $V$ che contiene $S$.

Collegamenti

• Permette di “completare” insiemi di vettori a una base intera.
• Fondamentale nello studio della formula di Grassmann.