Formula di Grassman

Formula di Grassmann

Siano $U,W$ sottospazi di uno spazio vettoriale $V$ di dimensione finita.

Enunciato

La formula di Grassmann stabilisce che:

$$\dim (U+W)=\dim U+\dim W-\dim (U\cap W).$$

Dimostrazione

1. Base dell’intersezione
   Sia $\{z_1,\dots ,z_r\}$ una base di $U\cap W$, con $r=\dim (U\cap W)$.

2. Estensione a base di $U$ e $W$

   • Estendi $\{z_1,\dots ,z_r\}$ a una base di $U$: $${\mathcal{B}}_U=\{z_1,\dots ,z_r,u_{r+1},\dots ,u_m\},m=\dim U.$$
   • Estendi $\{z_1,\dots ,z_r\}$ a una base di $W$: $${\mathcal{B}}_W=\{z_1,\dots ,z_r,w_{r+1},\dots ,w_n\},n=\dim W.$$

3. Generazione di $U+W$
   Considera l’insieme

   $$\mathcal{B}=\{z_1,\dots ,z_r,u_{r+1},\dots ,u_m,w_{r+1},\dots ,w_n\}.$$

   Mostriamo che genera $U+W$:

   • ogni elemento di $U$ è combinazione lineare di ${\mathcal{B}}_U$, quindi è combinazione di vettori in $\mathcal{B}$.
   • ogni elemento di $W$ è combinazione lineare di ${\mathcal{B}}_W$, quindi anch’esso è combinazione di vettori in $\mathcal{B}$.
     Dunque $\mathrm{Span}(\mathcal{B})=U+W$.

4. Indipendenza lineare
   Supponiamo che esista una combinazione lineare nulla:

   $$\sum _{i=1}^r{\alpha }_i{z}_i+\sum _{j=r+1}^m{\beta }_j{u}_j+\sum _{k=r+1}^n{\gamma }_k{w}_k=0.$$
   • Il termine ${\sum }_{i=1}^r{\alpha }_i{z}_i+{\sum }_{j=r+1}^m{\beta }_j{u}_j$ appartiene a $U$.
   • Il termine ${\sum }_{i=1}^r{\alpha }_i{z}_i+{\sum }_{k=r+1}^n{\gamma }_k{w}_k$ appartiene a $W$.
     Quindi l’intera somma è in $U\cap W=\mathrm{Span}\{z_1,\dots ,z_r\}$.

   Segue che i termini con $u_j$ e $w_k$ devono avere coefficienti nulli. Restano solo gli ${\alpha }_i$, che devono anch’essi essere nulli perché $\{z_1,\dots ,z_r\}$ è indipendente.

   Quindi $\mathcal{B}$ è indipendente.

5. Conclusione
   $\mathcal{B}$ è una base di $U+W$, dunque

   $$\dim (U+W)=r+(m-r)+(n-r)=m+n-r.$$

   Ossia

   $$\boxed{\dim (U+W)=\dim U+\dim W-\dim (U\cap W)}.$$

Collegamenti

• Usata per calcolare dimensioni di sottospazi senza passare da matrici.
• Connessa alla nozione di base e dimensione.
• Estensione naturale del teorema di dimensione–rango.