Coordinate rispetto a una base

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$ e $\mathcal{B}=\{v_1,\dots ,v_n\}$ una base di $V$.

Definizione

Ogni $v\in V$ può essere scritto in modo unico come combinazione lineare:

$$v={\alpha }_1{v}_1+\cdots +{\alpha }_n{v}_n,{\alpha }_i\in \mathbb{K}.$$

Il vettore colonna

$$[v{]}_{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ ⋮\\ {\alpha }_n\end{array}\right)$$

è detto vettore delle coordinate di $v$ rispetto alla base $\mathcal{B}$.

Proprietà

• La scrittura è unica, perché $\mathcal{B}$ è indipendente.
• La corrispondenza $v\mapsto [v{]}_{\mathcal{B}}$ è un isomorfismo tra $V$ e ${\mathbb{K}}^n$.

Collegamenti

• Passando da un vettore astratto al vettore colonna si prepara il terreno per le matrici.