Sistemi Lineari

Definizione

Un sistema lineare è un insieme di $m$ equazioni lineari in $n$ incognite della forma

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$$

che si scrive in forma matriciale:

$$Ax=b,$$

dove $A\in {\mathbb{K}}^{m\times n}$, $x\in {\mathbb{K}}^n$, $b\in {\mathbb{K}}^m$.

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Soluzioni

• Una soluzione è un vettore $x\in {\mathbb{K}}^n$ tale che $Ax=b$.
• L’insieme delle soluzioni è

$$\mathcal{S}=\{x\in {\mathbb{K}}^n\mid Ax=b\}.$$

Se $x_0$ è una soluzione particolare e $N=\ker A$, allora

$$\mathcal{S}=x_0+N.$$

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Classificazione

• Compatibile determinato: unica soluzione.
• Compatibile indeterminato: infinite soluzioni.
• Incompatibile: nessuna soluzione.

La condizione di compatibilità è data dal teorema di Rouché–Capelli.

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Metodo di risoluzione

1. Scrivi la matrice completa $A^{\ast }=(A\mid b)$.
2. Porta $A^{\ast }$ in forma a scala mediante Gauss.
3. Leggi le condizioni di compatibilità e i gradi di libertà (parametri liberi).

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Collegamenti

• L’insieme delle soluzioni è un sottospazio affine.
• La dimensione del nucleo di $A$ è $n-\mathrm{rank}(A)$.