Rango di una Matrice

Sia $A\in {\mathbb{K}}^{m\times n}$. Il rango di $A$, denotato $\mathrm{rank}(A)$, è la dimensione dello spazio generato dalle sue colonne (spazio colonna). Equivalentemente, è la dimensione dello spazio generato dalle righe (spazio riga): i due valori coincidono.

$$\mathrm{rank}(A)=\dim \mathrm{Span}\{\text{colonne di }A\}=\dim \mathrm{Span}\{\text{righe di }A\}.$$

Interpretazione lineare: se $T_A:{\mathbb{K}}^n\to {\mathbb{K}}^m$ è l’applicazione lineare $x\mapsto Ax$, allora

$$\mathrm{rank}(A)=\dim (\mathrm{Im}{T}_A).$$

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Caratterizzazioni equivalenti

• Pivot in forma ridotta: portando $A$ in forma a scala (vedi riduzione a scala), $\mathrm{rank}(A)$ è il numero di pivot.
• Minori: è il massimo $r$ tale che esiste un minore $r\times r$ con determinante non nullo; tutti i minori $(r+1)\times (r+1)$ hanno determinante nullo.
• Colonne pivot: gli indici delle colonne pivot della forma ridotta individuano colonne di $A$ che formano una base dello spazio colonna.

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Proprietà fondamentali

• Limiti: $0\le \mathrm{rank}(A)\le \min \{m,n\}$.
• Trasposta: $\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A^T)$.
• Invarianza per cambi di base: per ogni $P\in G{L}_m(\mathbb{K})$, $Q\in G{L}_n(\mathbb{K})$, $$\mathrm{rank}(PAQ)=\mathrm{rank}(A).$$ (Moltiplicare a sinistra/destra è un cambio di base in codominio/dominio.)
• Pieno rango:
  • colonne indipendenti $⟺\mathrm{rank}(A)=n$ (pieno rango di colonne) $⟺T_A$ è iniettivo;
  • righe indipendenti $⟺\mathrm{rank}(A)=m$ (pieno rango di righe) $⟺T_A$ è suriettivo.

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Calcolo pratico

1. Applica la riduzione di Gauss a $A$ (operazioni elementari di riga).
2. Conta i pivot nella forma a scala (o forma a scala ridotta): quello è $\mathrm{rank}(A)$.
3. Le colonne di $A$ corrispondenti alle colonne pivot formano una base dello spazio colonnare; le righe non nulle della forma a scala formano una base dello spazio rigare.

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Collegamenti con sistemi lineari

Per il sistema $Ax=b$ (vedi Rouché–Capelli):

• Compatibilità $⟺\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A\mid b)$.
• Se compatibile, lo spazio delle soluzioni è un affine di direzione $\ker A$ e $$\dim \ker A=n-\mathrm{rank}(A)$$ (dimensione–rango).

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Note operative

• Le operazioni di riga preservano il rango e non cambiano lo spazio riga (ne cambiano una base); lo spazio colonna cambia, ma il suo dimensione (il rango) resta invariata.
• Le operazioni di colonna preservano ugualmente il rango (corrispondono a cambi di base nel dominio).