Matrici Invertibili

Sia $A \in K^{n \times n}$ una matrice quadrata.

Definizione

$A$ è detta invertibile (o non singolare) se esiste una matrice $B \in K^{n \times n}$ tale che

A B = B A = I_{n} .

In tal caso $B$ è unica e si denota $A^{- 1}$ .

Sono equivalenti:

$det (A) \neq = 0$ (vedi determinante);
$rank (A) = n$ (massimo rango);
$ker A = {0}$ , quindi l’applicazione lineare $T_{A}$ è iniettiva;
$T_{A}$ è suriettiva $\Rightarrow$ biettiva $\Rightarrow$ isomorfismo di spazi vettoriali.

Metodo Gauss: applicare riduzione a scala a $[A ∣ I_{n}]$ fino ad ottenere $[I_{n} ∣ A^{- 1}]$ .
Formule: in teoria, $A^{- 1} = \frac{1}{det ( A )} adj (A)$ , ma è poco usata nei calcoli pratici.

Se $A$ è invertibile, il sistema $A x = b$ ha unica soluzione per ogni $b$ .
Le matrici invertibili formano il gruppo generale lineare $G L_{n} (K)$ .