Determinante

Sia $A\in {\mathbb{K}}^{n\times n}$.

Definizione

Il determinante è una funzione $\det :M_{n\times n}(\mathbb{K})\to \mathbb{K}$ definita da:

• $\det (I_n)=1$;
• lineare nelle righe (o colonne);
• cambia segno scambiando due righe (o colonne);
• nullo se due righe (o colonne) sono uguali.

Equivalentemente:

$$\det (A)=\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^n{a}_{i,\sigma (i)}.$$

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Proprietà principali

• $\det (AB)=\det (A)\det (B)$.
• $\det (A^T)=\det (A)$.
• $A$ è invertibile $⟺\det (A)\ne 0$.
• Le operazioni elementari:
  • scambio righe $\to$ cambia segno,
  • moltiplicazione riga per $\lambda \to$ moltiplica il determinante per $\lambda$,
  • somma di più di righe $\to$ non cambia il determinante.

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Interpretazione geometrica

• In ${\mathbb{R}}^2$: area orientata del parallelogramma generato dalle colonne.
• In ${\mathbb{R}}^3$: volume orientato del parallelepipedo generato dalle colonne.
• In generale: fattore di scala (con segno) dell’applicazione lineare $T_A$.

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Collegamenti

• Criterio di invertibilità per matrici.
• Relazione con autovalori: $\det (A-\lambda I)=0$ definisce il polinomio caratteristico.