Molteplicità Algebrica e Geometrica

Sia $A\in {\mathbb{K}}^{n\times n}$ una matrice quadrata e $\lambda$ un autovalore di $A$.

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Molteplicità algebrica

La molteplicità algebrica $m_a(\lambda )$ è la molteplicità con cui $\lambda$ compare come radice del polinomio caratteristico $p_A(\lambda )=\det (A-\lambda I)$.

• Si legge direttamente dal fattore $(\lambda -{\lambda }_i{)}^k$ in $p_A$.
• È un numero intero positivo.
• La somma delle molteplicità algebriche di tutti gli autovalori è $n$.

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Molteplicità geometrica

La molteplicità geometrica $m_g(\lambda )$ è la dimensione dell’autospazio relativo a $\lambda$:

$$m_g(\lambda )=\dim \ker (A-\lambda I).$$

• È il numero massimo di autovettori linearmente indipendenti associati a $\lambda$.
• Misura “quanti blocchi di Jordan” ci sono associati a $\lambda$.

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Relazione fondamentale

Vale sempre

$$1\le m_g(\lambda )\le m_a(\lambda ).$$

• Se $m_g(\lambda )=m_a(\lambda )$ per ogni autovalore $\lambda$, allora $A$ è diagonalizzabile.
• Se $m_g(\lambda )<m_a(\lambda )$ per qualche $\lambda$, allora $A$ non è diagonalizzabile, e la differenza è colmata con blocchi di Jordan di ordine maggiore di $1$.

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Esempio

• $A=I_3$ ha polinomio caratteristico $(\lambda -1{)}^3$.

  • Molteplicità algebrica: $m_a(1)=3$.
  • Autospazio: tutto ${\mathbb{K}}^3$, quindi $m_g(1)=3$.
  • Conclusione: $A$ è diagonalizzabile (già diagonale).

• $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$ ha polinomio caratteristico $(\lambda -2{)}^2$.

  • Molteplicità algebrica: $m_a(2)=2$.
  • $\ker (A-2I)$ è 1-dimensionale, quindi $m_g(2)=1$.
  • Conclusione: $A$ non è diagonalizzabile, forma di Jordan $J_2(2)$.

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Collegamenti

• Definiscono il criterio di diagonalizzabilità.
• Centrali nella costruzione della forma di Jordan.
• Collegati a traccia e determinante tramite il polinomio caratteristico.