Polinomio Caratteristico

Sia $A\in {\mathbb{K}}^{n\times n}$ una matrice quadrata.

Definizione

Il polinomio caratteristico di $A$ è

$$p_A(\lambda )=\det (A-\lambda I_n).$$

È un polinomio monico di grado $n$ con coefficienti in $\mathbb{K}$.

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Proprietà fondamentali

• Gli autovalori di $A$ sono esattamente gli zeri di $p_A(\lambda )$.
• $\mathrm{tr}(A)=$ coefficiente di ${\lambda }^{n-1}$ con segno cambiato.
• $\det (A)=(-1{)}^n\cdot p_A(0)$.
• $p_A(\lambda )$ è invariante per similarità: se $B=P^{-1}AP$, allora $p_B(\lambda )=p_A(\lambda )$.

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Dimostrazione (autovalori = zeri)

Per definizione, $\lambda$ è autovalore $⟺\exists v\ne 0$ con $(A-\lambda I)v=0$.
Questo $⟺$ il sistema $(A-\lambda I)v=0$ ammette soluzione non banale.
Questo $⟺\ker (A-\lambda I)\ne \{0\}$.
Questo $⟺A-\lambda I$ non è invertibile.
Questo $⟺\det (A-\lambda I)=0$.

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Collegamenti

• Strumento per calcolare gli autovalori in pratica.
• Fondamentale per la diagonalizzazione e la forma di Jordan.