Autovalori e Autovettori

Sia $A\in {\mathbb{K}}^{n\times n}$ una matrice quadrata (o, equivalentemente, $T:V\to V$ un’endormorfismo di uno spazio vettoriale $V$ di dimensione finita).

Definizione

• Un autovalore (o valore proprio) di $A$ è uno scalare $\lambda \in \mathbb{K}$ tale che esista un vettore non nullo $v\in {\mathbb{K}}^n$ con

  $$Av=\lambda v.$$

• Un tale $v$ si chiama autovettore (o vettore proprio) associato a $\lambda$.

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Condizione caratteristica

Il problema degli autovalori equivale a cercare soluzioni non banali di

$$(A-\lambda I)v=0.$$

Quindi:

$$\det (A-\lambda I)=0.$$

La funzione $p_A(\lambda )=\det (A-\lambda I)$ è detta polinomio caratteristico di $A$.

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Molteplicità

• Molteplicità algebrica di $\lambda$: la molteplicità come radice di $p_A(\lambda )$.
• Molteplicità geometrica: $\dim (\ker (A-\lambda I))$.

Vale sempre:

$$1\le \text{molteplicitaˋ geometrica}\le \text{molteplicitaˋ algebrica}.$$

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Proprietà

• La somma degli autovalori (con molteplicità) è la traccia: $$\mathrm{tr}(A)=\sum {\lambda }_i.$$
• Il prodotto degli autovalori (con molteplicità) è il determinante: $$\det (A)=\prod {\lambda }_i.$$

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Collegamenti

• Base per diagonalizzazione e forma di Jordan.
• Autovalori reali e ortogonalità compaiono nel teorema spettrale.