Traccia

Sia $A=(a_{ij})\in {\mathbb{K}}^{n\times n}$ una matrice quadrata.

Definizione

La traccia di $A$ è la somma degli elementi sulla diagonale principale:

$$\mathrm{tr}(A)=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}.$$

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Proprietà fondamentali

• Linearità:

  $$\mathrm{tr}(A+B)=\mathrm{tr}(A)+\mathrm{tr}(B),\mathrm{tr}(\lambda A)=\lambda \mathrm{tr}(A).$$

• Ciclicità: se $A\in {\mathbb{K}}^{m\times n}$ e $B\in {\mathbb{K}}^{n\times m}$,

  $$\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA).$$

• Similarità: se $B=P^{-1}AP$ con $P\in G{L}_n(\mathbb{K})$, allora

  $$\mathrm{tr}(B)=\mathrm{tr}(A).$$

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Collegamenti con autovalori

Se $A$ è quadrata di ordine $n$ e ha autovalori (con molteplicità algebraica) ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$, allora

$$\mathrm{tr}(A)={\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_n.$$

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Interpretazioni

• È l’invariante lineare più semplice associato a un’endormorfismo.
• In ${\mathbb{R}}^n$, la traccia rappresenta la divergenza dell’applicazione lineare $x\mapsto Ax$.

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Collegamenti

• Invariante per matrici simili.
• Compare insieme al determinante nel polinomio caratteristico: $$p_A(\lambda )=\det (A-\lambda I).$$
• Fondamentale nello studio di autovalori e autospazi.