Cambiamento di Base e Matrici Simili

Sia $T:V\to V$ un’applicazione lineare con $\dim V=n$.

Matrici di $T$ in basi diverse

• Sia $\mathcal{B}$ una base di $V$ e $A=[T{]}_{\mathcal{B}}$ la matrice di $T$ in $\mathcal{B}$.
• Sia $\mathcal{C}$ un’altra base di $V$, e $P$ la matrice di cambiamento di base da $\mathcal{C}$ a $\mathcal{B}$.
• Allora la matrice di $T$ in $\mathcal{C}$ è

$$A_{\mathcal{C}}=P^{-1}AP.$$

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Definizione di matrici simili

Due matrici quadrate $A,B\in {\mathbb{K}}^{n\times n}$ si dicono simili se esiste $P\in G{L}_n(\mathbb{K})$ tale che

$$B=P^{-1}AP.$$

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Proprietà

• La similarità è una relazione di equivalenza.
• Matrici simili rappresentano la stessa applicazione lineare in basi diverse.
• Proprietà invarianti per similarità:
  • autovalori
  • rango, determinante, traccia
  • polinomio caratteristico

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Collegamenti

• La diagonalizzazione è un caso particolare di similarità: $A\sim D$ con $D$ diagonale.
• La forma di Jordan è un’altra rappresentazione canonica tramite matrici simili.