Forma di Jordan

La forma di Jordan è una rappresentazione canonica di una matrice quadrata $A\in {\mathbb{K}}^{n\times n}$, che generalizza la diagonalizzazione anche ai casi in cui $A$ non sia diagonalizzabile.

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Blocchi di Jordan

Per $\lambda \in \mathbb{K}$, un blocco di Jordan di ordine $k$ è la matrice

$$J_k(\lambda )={\left(\begin{array}{ccccc}\lambda & 1& 0& \cdots & 0\\ 0& \lambda & 1& \cdots & 0\\ ⋮& & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& \lambda & 1\\ 0& \cdots & \cdots & 0& \lambda \end{array}\right)}_{k\times k}.$$

Se $k=1$, $J_1(\lambda )=(\lambda )$ è semplicemente un autovalore sulla diagonale.

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Definizione

Una matrice $J$ è in forma di Jordan se è diagonale a blocchi e ogni blocco è un blocco di Jordan $J_k(\lambda )$ per qualche autovalore $\lambda$ di $A$.

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Teorema di Jordan

Per ogni matrice $A\in {\mathbb{K}}^{n\times n}$, se $\mathbb{K}$ è un campo algebricamente chiuso (es. $\mathbb{C}$), esiste una matrice invertibile $P$ tale che

$$P^{-1}AP=J,$$

dove $J$ è in forma di Jordan.

La forma di Jordan è unica a meno dell’ordine dei blocchi.

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Significato

• La diagonalizzazione è il caso particolare in cui tutti i blocchi di Jordan hanno ordine $1$.
• Se esiste un blocco di dimensione $k>1$, significa che $A$ non è diagonalizzabile: esistono autovalori con molteplicità geometrica < molteplicità algebrica.

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Costruzione (schema)

1. Calcolare il polinomio caratteristico di $A$.
2. Per ogni autovalore $\lambda$, calcolare la molteplicità algebrica $m_a(\lambda )$.
3. Trovare gli autospazi $\ker (A-\lambda I)$ (dimensioni = molteplicità geometriche $m_g(\lambda )$).
4. Costruire catene di autovettori generalizzati risolvendo $$(A-\lambda I{)}^{k}v=0,k\ge 1.$$
   • Gli autovettori sono soluzioni per $k=1$.
   • Gli autovettori generalizzati si ottengono aumentando $k$.
5. Ogni catena produce un blocco di Jordan.

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Proprietà invarianti

• Gli autovalori di $A$ sono esattamente i valori $\lambda$ sui blocchi.
• La dimensione del più grande blocco associato a $\lambda$ = indice di nilpotenza di $(A-\lambda I)$.
• $A$ è diagonalizzabile $⟺$ tutti i blocchi sono $1\times 1$.

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Esempio (schema)

Se $A$ ha polinomio caratteristico $(\lambda -2{)}^3(\lambda +1)$ e:

• per $\lambda =2$: molteplicità algebrica $=3$, molteplicità geometrica $=2$ $\Rightarrow$ due blocchi, uno $2\times 2$ e uno $1\times 1$;
• per $\lambda =-1$: blocco $1\times 1$.

Allora

$$J=\mathrm{diag}(J_2(2),J_1(2),J_1(-1)).$$

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Collegamenti

• Estende la diagonalizzazione.
• Usa il concetto di autovettori generalizzati.
• Centrale nello studio delle applicazioni lineari e nella classificazione di matrici fino a similarità.