Diagonalizzazione

Sia $A\in {\mathbb{K}}^{n\times n}$.

Definizione

$A$ è diagonalizzabile se esiste $P\in G{L}_n(\mathbb{K})$ tale che

$$P^{-1}AP=D,$$

dove $D$ è una matrice diagonale.

Equivalente: $A$ è simile a una matrice diagonale.

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Interpretazione

Diagonalizzare significa trovare una base di ${\mathbb{K}}^n$ formata da autovettori di $A$.

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Teorema di diagonalizzabilità

$A$ è diagonalizzabile $⟺$ la somma delle molteplicità geometriche degli autovalori è $n$.

In particolare:

• se $A$ ha $n$ autovalori distinti, allora è diagonalizzabile;
• se per ogni autovalore $\lambda$, molteplicità geometrica = molteplicità algebrica, allora è diagonalizzabile.

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Costruzione

1. Trova il polinomio caratteristico $p_A(\lambda )$.
2. Calcola gli autovalori come radici di $p_A$.
3. Per ogni autovalore $\lambda$, risolvi $(A-\lambda I)v=0$ per ottenere la base dell’autospazio.
4. Se la dimensione totale degli autospazi è $n$, allora $P=(v_1|\dots |v_n)$ è invertibile e $P^{-1}AP=D$.

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Esempio (schema)

Se $A$ ha autovalori ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ con autovettori indipendenti $v_1,\dots ,v_n$, allora

$$P=(v_1|v_2|\cdots |v_n),D=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n).$$

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Collegamenti

• Caso particolare della forma di Jordan.
• Base per il teorema spettrale (per matrici simmetriche reali).