Teorema Spettrale (complesso)

Sia $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ normale ($A^{\ast }A=A{A}^{\ast }$). Allora esiste una base ortonormale di ${\mathbb{C}}^n$ formata da autovettori di $A$. In particolare esiste $U$ unitaria tale che

$$U^{\ast }AU=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n).$$

Lemmi chiave

(Schur unitaria) Per ogni $A$ esiste $U$ unitaria con $T=U^{\ast }AU$ triangolare superiore (decomposizione di Schur).

(Triangolare normale ⇒ diagonale) Se $T$ è triangolare superiore e normale, allora è diagonale.

Dimostrazione del lemma triangolare: Scrivi $T=(t_{ij})$. Per $e_1=(1,0,\dots ,0{)}^T$,

$$\Vert T{e}_1{\Vert }^2=\sum _{j=1}^n|t_{1j}{|}^2,\Vert T^{\ast }{e}_1{\Vert }^2=\sum _{i=1}^n|t_{i1}{|}^2=|t_{11}{|}^2$$

(perché $T$ triangolare $\Rightarrow t_{i1}=0$ per $i>1$). Poiché $T$ è normale, $\Vert T{e}_1\Vert =\Vert T^{\ast }{e}_1\Vert$, dunque $|t_{1j}|=0$ per $j>1$: prima riga è $(t_{11},0,\dots ,0)$. Restrizione al blocco inferiore $(n-1)\times (n-1)$ e induzione ⇒ tutte le righe hanno zeri fuori diagonale ⇒ $T$ diagonale. $\square$

Dimostrazione del teorema

• Per Schur, $U_0$ unitaria con $T=U_0^{\ast }A{U}_0$ triangolare superiore.
• La normalità è preservata da coniugio unitario: $T$ è normale.
• Per il lemma, $T$ è diagonale. Posto $U=U_0$, concludiamo $U^{\ast }AU=T$ diagonale.

Quindi $A$ è unitariamente diagonalizzabile e possiede una base ortonormale di autovettori.

Corollari importanti

1. Hermitiane ($A=A^{\ast }$). Sono normali, quindi unitar. diagonalizzabili; in più gli autovalori sono reali: se $Av=\lambda v$,

$$\lambda \Vert v{\Vert }^2=⟨Av,v⟩=⟨v,Av⟩=\overline{\lambda }\Vert v{\Vert }^2\Rightarrow \lambda =\overline{\lambda }.$$

2. Reali simmetriche. Caso particolare: se $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ è simmetrica, la diagonalizzazione può essere scelta con $Q$ ortogonale e con autovettori reali (vedi pagina sul teorema spettrale reale).

3. Ortogonalità per autovalori distinti (normali). Se $Av=\lambda v$, $Aw=\mu w$, $\lambda \ne \mu$, allora

$$\lambda ⟨v,w⟩=⟨Av,w⟩=⟨v,A^{\ast }w⟩=\overline{\mu }⟨v,w⟩\Rightarrow (\lambda -\overline{\mu })⟨v,w⟩=0.$$

Per $A$ normale (e in particolare per hermitiane, dove $\overline{\mu }=\mu$) segue $⟨v,w⟩=0$.

Collegamenti

• Ponte tra autovalori, diagonalizzazione e Jordan (normali ↔ sempre diagonalizzabili).
• Richiede il linguaggio di prodotti scalari e matrici unitarie.