Teorema Spettrale (reale)

Sia $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ simmetrica ($A^T=A$). Allora esiste una base ortonormale di ${\mathbb{R}}^n$ formata da autovettori di $A$. In particolare esiste $Q$ ortogonale tale che

$$Q^{T}AQ=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n).$$

Lemmi chiave

1. Autovalori reali. Se $Av=\lambda v$ con $v\ne 0$, allora

$$\lambda \Vert v{\Vert }^2=v^T(Av)=(Av{)}^{T}v=v^T{A}^{T}v=v^{T}Av\in \mathbb{R},$$

quindi $\lambda \in \mathbb{R}$.

2. Ortogonalità di autovettori distinti. Se $Au=\lambda u$, $Av=\mu v$ e $\lambda \ne \mu$, allora

$$\lambda u^{T}v=(Au{)}^{T}v=u^{T}Av=\mu u^{T}v\Rightarrow (\lambda -\mu )u^{T}v=0\Rightarrow u^{T}v=0.$$

3. Esistenza di un autovettore. Considera il quoziente di Rayleigh

$$R(x)=\frac{x^{T}Ax}{x^{T}x},x\ne 0.$$

Su $S^{n-1}=\{x:\Vert x\Vert =1\}$ (compatto), $R$ ammette un massimo in $u$. Con moltiplicatori di Lagrange su $f(x)=x^{T}Ax$ con vincolo $g(x)=x^{T}x-1=0$:

$$\nabla f(u)=\lambda \nabla g(u)\Rightarrow 2Au=\lambda 2u\Rightarrow Au=\lambda u.$$

Dimostrazione (per induzione su $n$)

• Per $n=1$ è ovvio.
• Per $n>1$: per il Lemma 3 esiste un autovalore ${\lambda }_1$ con autovettore unitario $u_1$.
• Sia $U=\mathrm{Span}\{u_1{\}}^{\perp }$. Per ogni $y\in U$, $$⟨Ay,u_1⟩=⟨y,A^T{u}_1⟩=⟨y,A{u}_1⟩={\lambda }_1⟨y,u_1⟩=0,$$ dunque $U$ è invariante per $A$ e $A_{\mid U}$ è ancora simmetrica.
• Per ipotesi induttiva esiste una base ortonormale di $U$ fatta di autovettori di $A$. Unendola a $u_1$ otteniamo una base ortonormale di ${\mathbb{R}}^n$ composta di autovettori.

Posto $Q$ la matrice con tali autovettori per colonne, si ha $Q^{T}Q=I$ e $Q^{T}AQ$ diagonale.

Collegamenti

• Specializzazione reale del teorema spettrale complesso.
• Usa il prodotto scalare standard (vedi prodotti scalari), e collega a diagonalizzazione e matrici ortogonali.