Matrici Simmetriche e Antisimmetriche

Sia $A\in {\mathbb{K}}^{n\times n}$.

Definizioni

• $A$ è simmetrica se $A^T=A$.
• $A$ è antisimmetrica se $A^T=-A$.

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Proprietà

• In $\mathbb{R}$, le matrici simmetriche rappresentano forme bilineari simmetriche.
• Le matrici antisimmetriche hanno diagonale nulla.
• In ${\mathbb{R}}^n$, ogni matrice si decompone come

$$A=\frac{A+A^T}{2}+\frac{A-A^T}{2},$$

cioè parte simmetrica $+$ parte antisimmetrica.

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Collegamenti

• Le matrici simmetriche reali hanno tutti autovalori reali e sono diagonalizzabili con base ortonormale (vedi teorema spettrale).