Cambi di base

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$, con due basi:

$$\mathcal{B}=\{v_1,\dots ,v_n\},\mathcal{C}=\{w_1,\dots ,w_n\}.$$

Matrice di cambiamento di base

Ogni $w_j$ si scrive come combinazione dei $v_i$:

$$w_j={\alpha }_{1j}{v}_1+\cdots +{\alpha }_{nj}{v}_n.$$

La matrice

$$P=\left(\begin{array}{ccc}{\alpha }_{11}& \cdots & {\alpha }_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {\alpha }_{n1}& \cdots & {\alpha }_{nn}\end{array}\right)$$

è detta matrice di passaggio da $\mathcal{B}$ a $\mathcal{C}$.

Relazione tra coordinate

Per ogni $v\in V$:

$$[v{]}_{\mathcal{B}}=P[v{]}_{\mathcal{C}}.$$

Quindi le coordinate cambiano moltiplicando per la matrice $P$ invertibile.

Collegamenti

• I cambi di base permettono di confrontare rappresentazioni diverse della stessa applicazione lineare.