Prodotti Scalari e Ortonormalità

Sia $V$ uno spazio vettoriale su $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$.

Definizione

Un prodotto scalare su $V$ è un’applicazione

$$⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to \mathbb{K},\mathbb{K}=\mathbb{R}\text{ o }\mathbb{C},$$

che soddisfa per ogni $u,v,w\in V$ e $\alpha \in \mathbb{K}$:

1. Linearità nel primo argomento

   $$⟨\alpha u+v,w⟩=\alpha ⟨u,w⟩+⟨v,w⟩$$

   (su $\mathbb{C}$: linearità nel primo argomento, coniugata nel secondo).

2. Simmetria/Hermitianità

   $$⟨u,v⟩=\overline{⟨v,u⟩}.$$

3. Definitezza positiva

   $$⟨v,v⟩\ge 0,⟨v,v⟩=0⟺v=0.$$

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Norme e angoli

Il prodotto scalare induce una norma:

$$\Vert v\Vert =\sqrt{⟨v,v⟩}.$$

Definisce anche l’angolo tra $u,v\ne 0$ tramite:

$$\cos \theta =\frac{⟨u,v⟩}{\Vert u\Vert \Vert v\Vert }.$$

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Ortogonalità

• $u\perp v⟺⟨u,v⟩=0$.
• Un insieme di vettori è ortonormale se tutti hanno norma $1$ e sono a due a due ortogonali.

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Risultati fondamentali

• Disuguaglianza di Cauchy–Schwarz

  $$|⟨u,v⟩|\le \Vert u\Vert \cdot \Vert v\Vert .$$

• Identità di polarizzazione (per ricostruire il prodotto scalare dalla norma):

  • su $\mathbb{R}$: $$⟨u,v⟩=\frac{1}{2}(\Vert u+v{\Vert }^2-\Vert u{\Vert }^2-\Vert v{\Vert }^2).$$
  • su $\mathbb{C}$: $$⟨u,v⟩=\frac{1}{4}(\Vert u+v{\Vert }^2-\Vert u-v{\Vert }^2+i\Vert u+iv{\Vert }^2-i\Vert u-iv{\Vert }^2).$$

• Teorema di Pitagora: se $u\perp v$, allora

  $$\Vert u+v{\Vert }^2=\Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2.$$

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Collegamenti

• Fondamentale per definire matrici ortogonali e unitarie.
• Base del teorema spettrale (autovettori ortogonali).
• Centrale nello studio di ortonormalità, proiezioni ortogonali e spazi euclidei.