Matrici Ortogonali

Sia $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$.

Definizione

$A$ è detta matrice ortogonale se

$$A^{T}A=A{A}^T=I_n.$$

Equivalente: $A^{-1}=A^T$.

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Proprietà fondamentali

• Le colonne (e le righe) di $A$ formano una base ortonormale di ${\mathbb{R}}^n$.
• $\det (A)=\pm 1$.
• Il prodotto di due matrici ortogonali è ortogonale.
• Se $A$ è ortogonale, anche $A^T$ lo è.
• Invarianza della norma: $$\Vert Ax\Vert =\Vert x\Vert \forall x\in {\mathbb{R}}^n.$$

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Interpretazione geometrica

$A$ rappresenta un’isometria lineare di ${\mathbb{R}}^n$: preserva lunghezze e angoli.

• In ${\mathbb{R}}^2$: rotazioni (det=1) e riflessioni (det=-1).
• In ${\mathbb{R}}^3$: rotazioni nello spazio e simmetrie rispetto a piani.

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Collegamenti

• Il gruppo delle matrici ortogonali è denotato $O(n)$, sottogruppo di $G{L}_n(\mathbb{R})$.
• Se $\det (A)=1$, $A$ appartiene al gruppo speciale ortogonale $SO(n)$ (rotazioni pure).
• Centrale nel teorema spettrale: le matrici simmetriche reali sono diagonalizzabili tramite una matrice ortogonale.