Matrici Unitarie

Sia $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$.

Definizione

$A$ è detta matrice unitaria se

$$A^{\ast }A=A{A}^{\ast }=I_n,$$

dove $A^{\ast }={\overline{A}}^T$ è la coniugata trasposta di $A$.

Equivalente: $A^{-1}=A^{\ast }$.

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Proprietà fondamentali

• Le colonne (e le righe) di $A$ formano una base ortonormale di ${\mathbb{C}}^n$.
• $|\det (A)|=1$.
• Il prodotto di due matrici unitarie è unitario.
• Se $A$ è unitaria, anche $A^{\ast }$ lo è.
• Invarianza della norma: $$\Vert Ax\Vert =\Vert x\Vert \forall x\in {\mathbb{C}}^n.$$

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Interpretazione geometrica

Le matrici unitarie rappresentano le isometrie lineari di ${\mathbb{C}}^n$ rispetto al prodotto scalare hermitiano.

• In ${\mathbb{C}}^n$ preservano lunghezze e angoli complessi.
• Generalizzano le matrici ortogonali (caso reale).

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Collegamenti

• Il gruppo delle matrici unitarie è denotato $U(n)$, sottogruppo di $G{L}_n(\mathbb{C})$.
• Se $\det (A)=1$, $A$ appartiene al gruppo speciale unitario $SU(n)$.
• Fondamentali nel teorema spettrale complesso: ogni matrice normale è diagonalizzabile tramite una unitaria.