Basi Ortonormali

Sia $(V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ uno spazio con prodotto scalare di dimensione finita $n$.

Definizione

Una base ortonormale di $V$ è una famiglia $(e_1,\dots ,e_n)$ tale che:

1. $⟨e_i,e_j⟩=0$ per ogni $i\ne j$ (ortogonalità);
2. $\Vert e_i\Vert =1$ per ogni $i$ (normalizzazione).

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Proprietà

• Ogni vettore $v\in V$ si scrive in modo unico come

  $$v=\sum _{i=1}^n⟨v,e_i⟩e_i.$$

  I coefficienti $⟨v,e_i⟩$ sono le coordinate ortonormali di $v$.

• L’operatore di proiezione su $\mathrm{Span}\{e_1,\dots ,e_k\}$ è

  $$\pi (v)=\sum _{i=1}^k⟨v,e_i⟩e_i.$$

• Il calcolo delle norme diventa semplice:

  $$\Vert v{\Vert }^2=\sum _{i=1}^n|⟨v,e_i⟩{|}^2.$$

  (Identità di Parseval).

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Collegamenti

• Si ottengono con il processo di Gram–Schmidt.
• Fondamentali per la rappresentazione ortogonale di applicazioni lineari e per il teorema spettrale.
• Le matrici di cambiamento di base tra basi ortonormali sono unitarie.