Basi Ortogonali (generali)

Sia $(V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ uno spazio con prodotto scalare di dimensione finita $n$.

Definizione

Una base ortogonale di $V$ è una famiglia $(v_1,\dots ,v_n)$ di vettori tali che:

• $⟨v_i,v_j⟩=0$ per ogni $i\ne j$ (mutua ortogonalità).
• Non si richiede $\Vert v_i\Vert =1$.

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Proprietà

• Essendo i $v_i$ non nulli e ortogonali, sono automaticamente linearmente indipendenti.

• Ogni vettore $v\in V$ si scrive univocamente come

  $$v=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{v}_i,$$

  e i coefficienti si ottengono con

  $${\alpha }_i=\frac{⟨v,v_i⟩}{⟨v_i,v_i⟩}.$$

• La norma si calcola tramite

  $$\Vert v{\Vert }^2=\sum _{i=1}^n\frac{|⟨v,v_i⟩{|}^2}{\Vert v_i{\Vert }^2}.$$

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Collegamenti

• Una base ortogonale può sempre essere trasformata in una base ortonormale dividendo ciascun $v_i$ per la sua norma: $$e_i=\frac{v_i}{\Vert v_i\Vert }.$$
• La normalizzazione è cruciale quando si vuole lavorare con matrici unitarie o con proiezioni ortogonali in forma semplice.