Forme Quadratiche

Sia $V$ su $\mathbb{R}$.

Definizione

Una forma quadratica è una funzione $Q:V\to \mathbb{R}$ del tipo

$$Q(v)=B(v,v),$$

dove $B$ è una forma bilineare simmetrica. Se $M$ è la matrice di $B$ in una base $\mathcal{B}$ e $x=[v{]}_{\mathcal{B}}$, allora

$$Q(v)=x^{T}Mx.$$

Diagonalizzazione per congruenza

Esiste una base in cui $M$ è diagonale $\mathrm{diag}({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_r,0,\dots ,0)$ con ${\epsilon }_i\in \{+1,-1\}$: equivale a scrivere

$$Q(v)=\sum _{i=1}^p{\xi }_i^2-\sum _{j=1}^q{\eta }_j^2,$$

con $p+q=r=\mathrm{rank}(M)$ (coordinate adatte). I numeri $(p,q)$ sono la segnatura.

Proprietà

• $Q$ è definita positiva $⟺$ $p=r$ e $q=0$ (tutti $+1$ dopo diagonalizzazione).
• $Q$ è semidefinita se non compaiono entrambi i segni.
• $\mathrm{Rad}(B)$ coincide con il nucleo di $M$ e dà gli zeri strutturali di $Q$.

Collegamenti

• La classificazione up-to-base è la legge d’inerzia di Sylvester.
• Legame stretto con matrici simmetriche e cambi ortogonali quando $Q$ è definita positiva.