Esistenza di basi ortogonali ed estensione

Sia $(V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ uno spazio con prodotto scalare finito-dimensionale.

Teoremi

1. (Esistenza) Ogni sottospazio $U\le V$ ammette una base ortonormale.
2. (Estensione di insiemi indipendenti) Ogni famiglia linearmente indipendente in $V$ si può estendere a una base ortonormale di $V$.
3. (Estensione di insiemi ortonormali) Ogni insieme ortonormale si può estendere a una base ortonormale di $V$.

Tutti si fondano sul processo di Gram–Schmidt.

Gram–Schmidt

Sia $(v_1,\dots ,v_k)$ una famiglia linearmente indipendente in $V$.

Definiamo ricorsivamente:

• $u_1:=v_1$, $q_1:=\frac{u_1}{\Vert u_1\Vert }$.
• Per $j\ge 2$, $$u_j:=v_j-\sum _{i=1}^{j-1}⟨v_j,q_i⟩q_i,q_j:=\frac{u_j}{\Vert u_j\Vert }.$$

(a) Non annullamento $u_j\ne 0$.
Poiché $v_j\notin \mathrm{Span}(v_1,\dots ,v_{j-1})$ e $\mathrm{Span}(q_1,\dots ,q_{j-1})=\mathrm{Span}(v_1,\dots ,v_{j-1})$, la proiezione ${\sum }_{i<j}⟨v_j,q_i⟩q_i$ è l’unica componente di $v_j$ in quello span: la componente rimanente $u_j$ è non nulla.

(b) Ortogonalità.
Per $i<j$,

$$⟨u_j,q_i⟩=⟨v_j,q_i⟩-\sum _{\ell <j}⟨v_j,q_{\ell }⟩⟨q_{\ell },q_i⟩=⟨v_j,q_i⟩-⟨v_j,q_i⟩=0.$$

Quindi $⟨q_j,q_i⟩=0$ per $i<j$ e, scegliendo $q_j=u_j/\Vert u_j\Vert$, otteniamo un sistema ortonormale $(q_1,\dots ,q_k)$.

(c) Stesso span.
Per costruzione $u_j\in \mathrm{Span}(v_1,\dots ,v_j)$ e $v_j=u_j+{\sum }_{i<j}⟨v_j,q_i⟩q_i\in \mathrm{Span}(u_1,\dots ,u_j)$. Quindi

$$\mathrm{Span}(q_1,\dots ,q_k)=\mathrm{Span}(u_1,\dots ,u_k)=\mathrm{Span}(v_1,\dots ,v_k).$$

Da (a)(b)(c) segue che Gram–Schmidt trasforma una famiglia indipendente in una famiglia ortonormale che genera lo stesso sottospazio.

Dimostrazione dei teoremi

(1) Esistenza su $U$.
Prendi una base qualsiasi $(v_1,\dots ,v_r)$ di $U$ (esiste per dimensione finita) e applica Gram–Schmidt: ottieni una base ortonormale $(q_1,\dots ,q_r)$ di $U$.

(2) Estensione di una famiglia indipendente a base ortonormale di $V$.
Sia $(v_1,\dots ,v_k)$ indipendente. Completa a una base di $V$ con il teorema del completamento: $(v_1,\dots ,v_k,w_{k+1},\dots ,w_n)$.
Applica Gram–Schmidt all’intera sequenza: ottieni $(q_1,\dots ,q_n)$ ortonormale. Per la proprietà (c), questi $q_i$ generano $V$ e quindi formano una base ortonormale che estende la famiglia iniziale (a meno di rinormalizzazioni e sostituzioni ortogonali equivalenti).

(3) Estensione di un insieme ortonormale.
Sia $\{q_1,\dots ,q_k\}$ ortonormale. Considera il complemento ortogonale $W:=\mathrm{Span}\{q_i{\}}^{\perp }$ (vedi complemento ortogonale). Per la decomposizione $V=\mathrm{Span}\{q_i\}\oplus W$, scegli una base qualsiasi di $W$ e ortonormalizzala con Gram–Schmidt per ottenere $\{p_{k+1},\dots ,p_n\}$. Allora $\{q_1,\dots ,q_k,p_{k+1},\dots ,p_n\}$ è una base ortonormale di $V$.

Proiezioni e minimalità

Per $U=\mathrm{Span}\{q_1,\dots ,q_r\}$ ortonormale, la proiezione ortogonale è

$${\pi }_U(v)=\sum _{i=1}^r⟨v,q_i⟩q_i,$$

ed è l’unico vettore in $U$ che minimizza $\Vert v-u\Vert$ (segue dalla disuguaglianza di Pythagoras e da Cauchy–Schwarz).

Collegamenti

• Usa Cauchy–Schwarz e la decomposizione $V=U\oplus U^{\perp }$.
• Base tecnica per il teorema spettrale e per costruire unitarie in pratica.