Teorema di Sylvester

Sia $B$ una forma bilineare simmetrica reale su $V$ finito-dimensionale, $Q(v)=B(v,v)$ la forma quadratica associata.

Enunciato

Esiste una base di $V$ nella quale la matrice di $B$ è diagonale

$$\mathrm{diag}(\underset{p}{\underbrace{+1,\dots ,+1}},\underset{q}{\underbrace{-1,\dots ,-1}},\underset{r_0}{\underbrace{0,\dots ,0}}),$$

con $p,q,r_0\ge 0$ e $p+q+r_0=\dim V$. I numeri $p$ e $q$ (la segnatura) sono invarianti per congruenza: non dipendono dalla base.

Dimostrazione (costruzione + invarianza)

1) Costruzione (riduzione per congruenza)

Se $Q\equiv 0$ su $V$, la matrice è nulla ed è già diagonale. Altrimenti esiste $v_1$ con $Q(v_1)\ne 0$.

• Normalizza $v_1$ in modo che $B(v_1,v_1)=\pm 1$.
• Definisci $U_1=\mathrm{Span}\{v_1\}$ e il suo $B$-ortogonale $U_1^{{\perp }_B}=\{x:B(x,v_1)=0\}$.
• Per simmetria e non-degenerazione su $U_1$, vale la decomposizione $V=U_1\oplus U_1^{{\perp }_B}$ (qui non serve che $B$ sia definita positiva, basta l’argomento di proiezione via equazioni lineari).
• Restringi $B$ a $U_1^{{\perp }_B}$ e ripeti il procedimento.

Induttivamente, costruisci una base $B$-ortonormale “a segni”

$$\{e_1,\dots ,e_p,f_1,\dots ,f_q,g_1,\dots ,g_{r_0}\}$$

con $B(e_i,e_i)=+1$, $B(f_j,f_j)=-1$, $B(g_k,\cdot )\equiv 0$. Nella base ottenuta, la matrice è la diagonale desiderata.

(Equivalente operativo: eliminazioni di completamento del quadrato + scambi, cioè moltiplicazioni $P^{T}MP$ con $P$ invertibile).

2) Invarianza della segnatura

Siano $M$ e $\tilde{M}$ due matrici simmetriche congruenti: $\tilde{M}=P^{T}MP$. Considera le decomposizioni ortogonali massimali in sottospazi dove $Q$ è $>0$ (subspazio positivo) e $<0$ (subspazio negativo).

• La dimensione massima di un subspazio su cui $Q>0$ è invariante (indice positivo); idem per $Q<0$ (indice negativo).
• In particolare, se $M$ e $\tilde{M}$ sono entrambe diagonali con $p,q$ e $\tilde{p},\tilde{q}$ segni positivi/negativi, allora $p=\tilde{p}$ e $q=\tilde{q}$.

Quindi la coppia $(p,q)$ è un invariante intrinseco della forma: la segnatura.

Conseguenze

• $Q$ è definita positiva $⟺$ segnatura $(p,q)=(r,0)$ (con $r=\mathrm{rank}M$).
• $r_0=\dim \mathrm{Rad}(B)$ è il numero di zeri sulla diagonale canonica.
• Ogni forma quadratica reale è equivalente (per congruenza) a una somma di quadrati, di meno quadrati e zeri.

Collegamenti

• Diagonalizzazione per congruenza $\ne$ diagonalizzazione per similarità (qui compaiono $P^{T}MP$, non $P^{-1}MP$).
• Ponte fra forme bilineari simmetriche, forme quadratiche e matrici simmetriche.