Rappresentazione di un’applicazione lineare

Sia $T:V\to W$ un’applicazione lineare, con $\dim V=n$, $\dim W=m$.

Matrice associata

Scelte basi $\mathcal{B}=\{v_1,\dots ,v_n\}$ di $V$ e $\mathcal{C}=\{w_1,\dots ,w_m\}$ di $W$, ogni $T(v_j)$ si scrive come

$$T(v_j)=a_{1j}{w}_1+\cdots +a_{mj}{w}_m.$$

I coefficienti formano la matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$$

detta matrice di $T$ rispetto a $(\mathcal{B},\mathcal{C})$.

Relazione con le coordinate

Per ogni $v\in V$ vale:

$$[T(v){]}_{\mathcal{C}}=A[v{]}_{\mathcal{B}}.$$

Collegamenti

• In questo modo le applicazioni lineari diventano matrici.
• La composizione di applicazioni corrisponde al prodotto tra matrici.
• Gli autovalori e autovettori nascono da questa rappresentazione.