Matrice di un’Applicazione Lineare

Sia $T:V\to W$ un’applicazione lineare con $\dim V=n$ e $\dim W=m$.

Definizione

Scelte basi $\mathcal{B}=\{v_1,\dots ,v_n\}$ di $V$ e $\mathcal{C}=\{w_1,\dots ,w_m\}$ di $W$, per ogni $j=1,\dots ,n$ si scrive

$$T(v_j)=a_{1j}{w}_1+\cdots +a_{mj}{w}_m.$$

I coefficienti formano la matrice $m\times n$:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right).$$

Questa è detta matrice di $T$ rispetto alle basi $(\mathcal{B},\mathcal{C})$.

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Proprietà

• Per ogni $v\in V$ vale

$$[T(v){]}_{\mathcal{C}}=A[v{]}_{\mathcal{B}}.$$

• La composizione di applicazioni lineari corrisponde al prodotto di matrici.
• L’identità corrisponde alla matrice identità $I_n$.

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Collegamenti

• Con cambiamenti di base si ottengono matrici simili.
• Lo studio di autovalori parte da questa rappresentazione.