Spazi Proiettivi

Data di stesura: 2025-08-28 21:25 Ultima modifica: 2025-08-28 21:25 Sezione (Argomento): 12. Geometria Affine e Proiettiva

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Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n+1$ sul campo $\mathbb{K}$. Lo spazio proiettivo $P(V)$ su $V$ è l’insieme dei sottospazi vettoriali di dimensione $1$ di $V$, cioè l’insieme delle “direzioni” dei vettori di $V$.

Formalmente: Si considera il sottoinsieme $V\backslash \{0\}$ di tutti i vettori non nulli di $V$, e lo si dota della relazione di equivalenza $\sim$ definita da

$$w\sim v\text{ se e solo se esiste }\lambda \in \mathbb{K}\text{ tale che}w=\lambda v$$

La classe di equivalenzza di un punto $v\in \backslash \{0\}$ si scrive $[v]$. Contiene l’intera retta $v\ne 0$ in $V$, privata dell’origine.

Definizione

Sia V uno spazio vettoriale di dimensione $n+1$ sul campo $\mathbb{K}$. Il quoziente:$P(V)=(V\backslash \{0\})/\sim$Si dice spazio proiettivo di dimensione $n$.

Spazio proiettivo di dimensione 1 → RETTA PROIETTIVA 2→PIANO PROIETTIVO

Si denota usualmente con $\mathbb{K}{P}^n$.

Esempi:

• Esempio - Dimensione 0

• Esempio - Dimensione 1

• Esempio - Dimensione 2

• Esempio - Dimensione generica n

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