Teorema di Estensione a Base Ortogonale

Data di stesura: 2025-08-22 10:37 Ultima modifica: 2025-08-22 10:37 Sezione (Argomento): 06. Prodotti Scalari e Ortogonalità

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Enunciato/Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita, dotato di un prodotto scalare definito positivo e sia $W$ un sottospazio vettoriale di $V$. Sia $\{w_1,w_2,\dots ,w_n\}$ una base ortogonale di $W$ rispetto al prodotto scalare indotto su $W$ da quello definito su $V$. Se $W\ne V$, allora esistono dei vettori $\{w_{m+1},\dots ,w_n\}$ tali che $\{w_1,\dots ,w_n\}$ è una base ortogonale di $V$.

Dimostrazione

Per il teorema del completamento possiamo scrivere:

$$\{w_1,\dots ,w_m,w_{m+1},\dots ,w_n\}$$

In generale questa non è una base ortogonale di $V$. Per ottenerla partendo da questa base, iniziamo costruendo una base ortogonale a $W_{m+1}$, lo spazio vettoriale generato dai vettori $\{w_1,\dots ,w_m,w_{m+1},\dots ,w_n\}$. A tal fine, dal vettore $W_{m+1}$ si sottraggano le sue proiezioni lungo i vettori $\{w_1,\dots ,w_m\}$.

c_{1}=\frac{\langle w_{m+1},w_{1} \rangle }{\langle w_{1},w_{1} \rangle} && c_{n}=\frac{\langle w_{m+1},w_{m} \rangle}{\langle w_{m},w_{m} \rangle } \end{align}

sia: $w_{m+1}=v_{m+1}-c_1{w}_1-\cdots -c_m{w}_m$ Il vettore $w_{m+1}$ è ortogonale. Infatti si verifica che:

1. $w_{m+1}\ne O$, altrimenti sarebbe potuto scriversi come combinazione lineare di altri vettori, contraddicendo l’ipotesi di indipendenza lineare.
2. Inoltre il vettore $v_{m+1}$ appartiene allo spazio vettoriale generato dai vettori $w_1,\dots ,w_{m+1}$, poichè:

$$v_{m+1}=w_{m+1}+c_1{w}_1+\cdots +c_m$$

Quindi $\{w_1,\dots ,v_{m+1}\}$ è base ortogonale dello spazio vettoriale $W_{m+1}$. Possiamo procedere per induzione, mostrando che lo spazio vettoriale $W_{m+s}$ è generato dai vettori $w_1,\dots ,w_m,w_{m+1},\dots ,w_n$ possiede base ortogonale $\{w_1,\dots w_m,w_{m+1},\dots ,w_{m+s}\}$, dove $s=1,\dots ,n-m.$

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