Soluzioni Axio Quest – Fino ad Applicazioni Lineari¶

Axio ti sfida

Prova a risolvere ogni esercizio prima di guardare la soluzione!

q001 — Definizione di spazio vettoriale¶

Uno spazio vettoriale su un campo \(\mathbb{K}\) è un insieme \(V\) con due operazioni: - somma \(+: V\times V\to V\) - moltiplicazione per scalare \(\cdot: \mathbb{K}\times V\to V\) che soddisfano gli otto assiomi: chiusura, commutatività, associatività, elemento neutro, inverso additivo, distributività in entrambe le variabili, compatibilità e identità moltiplicativa. Esempio: \(\mathbb{R}^n\) con somma e prodotto per scalare usuali.

q002 — Riconoscere uno spazio vettoriale¶

\(S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x\ge0\}\) non è uno spazio vettoriale: non è chiuso rispetto alla moltiplicazione per scalare con scalari negativi (es: \((1,0)\in S\) ma \((-1)\cdot(1,0)=(-1,0)\notin S\)).

q003 — Sottospazio definito da equazione¶

\(W\) è il luogo delle soluzioni di \(x+2y-z=0\), che è un’equazione lineare omogenea \(\Rightarrow\) sottospazio. Parametrizzando: \((x,y,z)=(t,-\frac{t+z}{2},z)\), oppure più semplicemente: prendo variabili libere \(y=s\), \(z=t\), ottengo \(x=-2s+t\). Base: \(\{(-2,1,0),(1,0,1)\}\), \(\dim W=2\).

q004 — Indipendenza lineare¶

Scrivo \(\alpha(1,0,1)+\beta(0,1,1)+\gamma(1,1,2)=(0,0,0)\). Ottengo sistema: \(\alpha+\gamma=0\), \(\beta+\gamma=0\), \(\alpha+\beta+2\gamma=0\). Dalle prime due \(\alpha=-\gamma\), \(\beta=-\gamma\), sostituendo nella terza: \((-\gamma)+(-\gamma)+2\gamma=0\) vero per ogni \(\gamma\). Quindi \(\gamma\) libero ⇒ dipendenti.

q005 — Matrici simmetriche \(2\times 2\)¶

Ogni matrice simmetrica è \(\begin{pmatrix}a & b \\ b & c\end{pmatrix}\) con \(a,b,c\in\mathbb{R}\). Dimensione: \(3\). Base: \(\{ \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} \}\).

q006 — Completamento di una base¶

Vettori: \(v_1=(1,1,0,0)\), \(v_2=(0,1,1,0)\). Completo scegliendo \(v_3=(0,0,1,0)\) e \(v_4=(0,0,0,1)\). Verifica indipendenza ⇒ \(\{v_1,v_2,v_3,v_4\}\) è base.

q007 — Formula di Grassmann¶

Dimostrazione: Considero \(\dim(U+W)=\dim U + \dim W - \dim(U\cap W)\). Idea: scelgo base di \(U\cap W\), la completo a base di \(U\) e a base di \(W\), e unisco le basi. Esempio: in \(\mathbb{R}^3\), \(U=\langle e_1,e_2\rangle\), \(W=\langle e_2,e_3\rangle\), \(\dim(U\cap W)=1\) ⇒ \(\dim(U+W)=3\).

q008 — Intersezione di sottospazi¶

\(U=\langle(1,1,0,0),(0,1,1,0)\rangle\), \(W=\langle(1,0,1,0),(1,1,1,1)\rangle\). Scrivo \((a,b,c,d)=\alpha(1,1,0,0)+\beta(0,1,1,0)=\gamma(1,0,1,0)+\delta(1,1,1,1)\). Risolvendo, ottengo \(U\cap W = \langle(1,1,1,0)\rangle\).

q009 — Rango e nucleo¶

\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\1&0&1\end{pmatrix}\). \(R_2-2R_1\to(0,0,0)\), \(R_3-R_1\to(0,-2,-2)\). Rango \(=2\). Nucleo: risolvo \(x+2y+3z=0\), \(-2y-2z=0\Rightarrow y=-z\), \(x+2(-z)+3z=0\Rightarrow x=-z\). Base nucleo: \(\{(-1,-1,1)\}\).

q010 — Rouché–Capelli¶

\(A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}\), \(b=(1,2,3)\). Riduzione: \(R_3-R_1\to(0,-1,1\;|\;2)\). \(R_2\leftrightarrow R_3\): sistema compatibile ⇒ \(\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A|b)=3\) ⇒ unica soluzione.

q011 — Matrice di un’applicazione¶

\(f(x,y,z)=(x+z, y-z)\). Rispetto a basi canoniche, le immagini di \(e_1,e_2,e_3\) sono: \(f(1,0,0)=(1,0)\), \(f(0,1,0)=(0,1)\), \(f(0,0,1)=(1,-1)\). Matrice: \(\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&-1\end{pmatrix}\).

q012 — Coordinate rispetto a una base¶

\(B=\{(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)\}\), \(v=(2,3,4)\). Risolvo \(a(1,0,1)+b(0,1,1)+c(1,1,0)=(2,3,4)\). Sistema: \(a+c=2\), \(b+c=3\), \(a+b=4\). Soluzione: \(a=1.5\), \(b=2.5\), \(c=0.5\).

q013 — Composizione di applicazioni¶

Se \(A\) è \(3\times 2\) e \(B\) è \(2\times 3\), \(M_{g\circ f}=BA\) (matrice \(2\times 2\)). \(g\circ f\) è identità se \(BA=I_2\).

q014 — Isomorfismo¶

\(f(a,b)=(a+b,a-2b)\). Rappresentazione come matrice: \(\begin{pmatrix}1&1\\1&-2\end{pmatrix}\). Determinante \(=-3\neq0\) ⇒ invertibile. Inversa: \(f^{-1}(u,v)=\left(\frac{2u+v}{3}, \frac{u-v}{3}\right)\).

q015 — Cambi di base¶

\(f(x,y)=(x+2y,3x+y)\). Base \(B\) in dominio, \(C\) in codominio. Calcolo \([f]_B^C = P_C^{-1} \cdot M_f \cdot P_B\), con \(M_f\) rispetto alle basi canoniche. Risultato: \(\begin{pmatrix}3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\).

Aggiornamenti

Data: 2025-08-09
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